tale sequenza si ottiene utilizzando il seguente procedimento:
- l'elemento n-esimo della sequenza è uguale a:
a) [(elemento (n-2)-esimo)² - elemento (n-1)-esimo] se l'elemento n-esimo si trova in una posizione dispari (n è dispari);
b) [(elemento (n-2)-esimo)² - elemento (n-3)-esimo] se l'elemento n-esimo si trova in una posizione pari (n è pari);
quindi, nel nostro caso, abbiamo che i due numeri arbitrari iniziali della sequenza sono 7 e 9.
Da questi ricaviamo gli altri; si ha:
7
9
40 = [(elemento (n-2)-esimo)² - elemento (n-1)-esimo] = 7² - 9
74 = [(elemento (n-2)-esimo)² - elemento (n-3)-esimo] = 9² - 7
1526 = [(elemento (n-2)-esimo)² - elemento (n-1)-esimo] = 40² - 74
quindi, gli elementi successivi a 1526 saranno:
5436 = [(elemento (n-2)-esimo)² - elemento (n-3)-esimo] = 74² - 40
2323240 = [(elemento (n-2)-esimo)² - elemento (n-1)-esimo] = 1526² - 5436
e così via ...
2° sequenza: 8-10-14-18-?-34-50-66
Al posto del punto interrogativo va messo il 26. Vediamo perchè.
I primi due numeri della sequenza, 8 e 10, sono arbitrari;
il 3° e il 4° numero, 14 e 18, si ottengono ciascuno dal numero precedente aggingendo 4:
14 = 10+4
18=14+4
Il 7° e l' 8° numero, 50 e 66, si ottengono ciascuno dal numero precedente aggiungendo 16:
50 = 34+16
66 = 50+16
per cui, il 5° e il 6° numero, ? e 34, si otterranno ciascuno dal numero precedente aggiungendo 8, che è il doppio di 4 e la metà di 16:
? = 18+8
34 = ?+8
per cui ? = 26.
Volendo continuare la sequenza, si ha:
8
10
14 = 10+4
18 = 14+4
26 = 18+8
34 = 26+8
50 = 34+16
66 = 50+16
------------
98 = 66+32
130 = 98+32
e così via ...
3° sequenza: 28-33-31-36-34
l'elemento n-esimo della sequenza si ottiene:
a) sommando 5 all' elemento (n-1)-esimo se l'elemento n-esimo si trova in posizione pari (n è pari);
b) sottraendo 2 all'elemento (n-1)-esimo se l'elemento n-esimo si trova in posizione dispari (n è dispari);
quindi, nel nostro caso:
28
33 = 28+5
31 = 33-2
36 = 31+5
34 = 36-2
gli elementi successivi saranno:
39 = 34+5
37 =39-2
e cosi vià ...
4° sequenza: 8-24-12-?-18-54
Si nota che l'elemento n-esimo della sequenza si ottiene:
a) moltiplicando per 3 l'elemento (n-1)-esimo se l'elemento n-esimo si trova in posizione pari (n è pari);
b) dividendo per 2 l'elemento (n-1)-esimo se l'elemento n-esimo si trova in posizione dispari (n è dispari);
quindi nel nostro caso, avremo:
8
24 = 8*3
12 = 24/2
? = 12*3
18 = ?/2
54 = 18*3
per cui, ? = 36.
Volendo continuare la sequenza, avremo:
27 = 54/2
81 =27*3
e così via ...
5° sequenza: 260-216-128-108-62-54-?-27
l'elemento n-esimo della sequenza è uguale a:
a) [(elemento (n-2)-esimo - 4)/2] se l'elemento n-esimo si trova in posizione dispari (n è dispari);
b) [(elemento (n-2)-esimo)/2] se l'elemento n-esimo si trova in posizione pari (n è pari);
quindi nel nostro caso, avremo:
260
216
128 = (260-4)/2
108 = 216/2
62 = (128-4)/2
54 = 108/2
? = (62-4)/2
27 = 54/2
per cui ? = 29.
Volendo continuare la sequenza, avremo:
12.5 = (29-4)/2
13.5 = 27/2
e così via ...
3. Quattro modi di continuare una serie
di Pietro Vitelli
1° possibile continuazione:
Il 1° numero della serie, 1, è arbitrario.
Il 2° e il 3° numero, 2 e 3, si ottengono ciascuno dal numero precedente aggiungendo 1:
2 = 1+1
3 = 2+1
il 4° e il 5° numero, 5 e 7, si ottengono ciascuno dal numero precedente aggiungendo 2:
5 = 3+2
7 = 5+2
il 6° e il 7° numero, 11 e ?, si ottengono ciascuno dal numero precedente aggiungendo 4:
11 = 7+4
? = 11+4
per cui ? = 15
E' chiaro che la serie continuerà nel seguente modo:
1
2 = 1+1
3 = 2+1
5 = 3+2
7 = 5+2
11 = 7+4
15 = 11+4
23 = 15+8
31 = 23+8
e così via ...
cioè: 1-2-3-5-7-11-15-23-31-...
2° possibile continuazione:
1 e 2 sono i due numeri iniziali arbitrari della serie, o, se vogliamo, 2 = 1*2.
Il 3° e il 4° numero della serie, 3 e 4, si ottengono ciascuno dal numero precedente moltiplicandolo per 2 e sottraendo 1:
3 = 2*2-1
5 = 3*2-1
il 5° e il 6° numero, 7 e 11, si ottengono ciascuno dal numero precedente moltiplicandolo per 2 e sottraendo 3:
7 = 5*2-3
11 = 7*2-3
per cui la serie continuerà nel seguente modo:
1
2
3 = 2*2-1
5 = 3*2-1
7 = 5*2-3
11 = 7*2-3
17 = 11*2-5
29 = 17*2-5
51 = 29*2-7
e così via ...
cioè: 1-2-3-5-7-11-17-29-51-...
3° possibile continuazione:
1 è il numero iniziale arbitrario della serie;
i numeri successivi della serie si ottengono prendendo, a partire da 1, in ordine crescente, tutti i numeri primi:
1-2-3-5-7-11-13-17-19-23-29-...
4° possibile continuazione:
1 e 2 sono i numeri arbitrari iniziali della serie;
il 3° e il 4° numero, 3 e 5, si ottengono ciascuno sommando i due numeri che lo precedono:
3 = 1+2
5 = 2+3
il 5° e il 6° numero, 7 e 11, si ottengono ciascuno sommando i due numeri che lo precedono e sottraendo 1:
7 = 3+5-1
11 = 5+7-1
per cui la serie continuerà nel seguente modo:
1
2
3 = 1+2
5 = 2+3
7 = 3+5-1
11 = 5+7-1
16 = 7+11-2
25 = 11+16-2
38 = 16+25-3
60 = 25+38-3
e così via ...
cioè: 1-2-3-5-7-11-16-25-38-60
Ringrazio Bruno Berselli, di Bologna, per le seguenti osservazioni.
Per quanto riguarda il punto 3, invece, si potrebbe partire da una successione come questa:
| 2 | |
| 5 | = [2]*2+[0+1] |
| 12 | = [5]*2+[1+1] |
| 27 | = [12]*2+[1+2] |
| 59 | = [27]*2+[2+3] |
| 126 | = [59]*2+[3+5] |
| 265 | = [126]*2+[5+8] |
| 551 | = [265]*2+[8+13], etc. |
| 1 | 12 = 1 | per 2 |
| 2 | 22 = 4 | per 5 |
| 3 | 32 = 9 | per 12 |
| 5 | 52 = 25 | per 27 |
| 7 | 72 = 49 | per 59 |
| 11 | 112 = 121 | per 126 |
| 16 | 162 = 256 | per 265 |
| 23 | 232 = 529 | per 551 |
4. Una sequenza
N.d.R. Le seguenti due spiegazioni giungono allo stesso risultato ma per vie e con modalità diverse. Molto interessante...
di Luciana Alessandrini
14
perchè la sequenza dice: +2+1, +3+1, +4...
di Pietro Vitelli
L'elemento n-esimo della sequenza è uguale a:
a) [elemento (n-1)-esimo + 1] se l'elemento n-esimo si trova in posizione dispari (n è dispari);
b) [elemento (n-1)-esimo + (n/2)+1] se l'elemento n-esimo si trova in posizione pari (n è pari);
quindi, nel nostro caso, avremo:
3
5 = [elemento (n-1)-esimo + (n/2)+1] = 3+(2/2)+1
6 = [elemento (n-1)-esimo + 1] = 5+1
9 = [elemento (n-1)-esimo + (n/2)+1] = 6+(4/2)+1
10 = [elemento (n-1)-esimo + 1] = 9+1
? = [elemento (n-1)-esimo + (n/2)+1] = 10+(6/2)+1
per cui, ? = 14.
Volendo continuare la sequenza, avremo:
15 = 14+1
20 = 15+(8/2)+1
e così via ...
5. Una sequenza
Ringrazio Pietro Vitelli per l'interessante, acuta e laboriosa risoluzione.
Ecco la mia soluzione alla serie:
(penso ve ne siano altre migliori e più logiche, ma non ho la minima idea di quali siano)
Partiamo dal 1° numero della serie, 224.
Effettuando la seguente operazione otteniamo 426, il 2° numero della serie:
224 + 1091 - 889 = 426
dove 1091 è, a partire da 1, il 180° numero primo, mentre 889 è un numero qualsiasi.
Sono i numeri casuali tramite i quali la serie è stata impostata (la scelta di tali numeri da parte dell'ideatore della serie mi sembra poco logica, per questo ritengo vi siano soluzioni migliori e più logiche).
Passiamo ora al 2°termine della serie, 426.
Effettuando la seguente operazione otteniamo 628, il 3° numero della serie:
426 + 1087 - 885 = 628
dove 1087 è il numero primo immediatamente precedente al numero primo 1091, utilizzato per il calcolo del 2° termine, e 885 si ottiene dal numero sopra scritto 889 togliendo 4.
Passiamo al 3° termine,628.
Effettuando la seguente operazione otteniamo 816, il 4° numero della serie:
628 + 1069 - 881 = 816
dove 1069 è il numero primo immediatamente precedente al numero primo 1087, utilizzato per il calcolo del 3° termine, e 881 si ottiene dal numero sopra scritto 885 togliendo 4.
Per cui riassumendo:
1°)224
2°)426 = 224 + 1091 - 889
3°)628 = 426 + 1087 - 885
4°)816 = 628 + 1069 - 881
dove 1069, 1087, 1091, sono numeri primi consecutivi, e i numeri a partire da 889 si susseguono togliendo sempre 4.
Per cui volendo continuare la serie avremo:
5°)1002 = 816 + 1063 - 877
6°)1190 = 1002 + 1061 - 873
7°)1372 = 1190 + 1051 - 869
8°)1556 = 1372 + 1049 - 865
...
...
E' ovvio che la sequenza è convergente, per cui andrà a finire;
in particolare dato che il primo numero primo utilizzato è 1091, che è il 180° numero primo a partire da 1, vuol dire che i termini della serie sono proprio 180.
Con l'aiuto di un programmino per computer (che non ho fatto per mancanza di tempo e di voglia) risulta facile calcolare l'ultimo numero della sequenza.
Ringrazio Bruno Berselli, di Bologna, per le seguenti osservazioni.
Ho trovato interessanti le soluzioni indicate e al riguardo vorrei segnalarle una curiosa e gradevole ricorsione per la sequenza del punto 5:
| 224 | |
| 426 | = [4]*(224/2)-[22]-2*(20-1)2 |
| 628 | = [6]*(224/2)-[42]-2*(21-1)2 |
| 816 | = [8]*(224/2)-[62]-2*(22-1)2 |
| 493 | = [6]*(224/2)-[81]-2*(23-1)2 |
| -163 | = [3]*(224/2)-[49]-2*(24-1)2 |
| -1570 | = [3]*(224/2)-[-16]-2*(25-1)2 |
| -7781 | = [0]*(224/2)-[-157]-2*(26-1)2, etc. |
di Alan Viezzoli
Il foglio richiedeva di mettere le cifre in ordine alfabetico e ognuno l'ha fatto nella propria lingua
Cinque - Due - Nove - Otto - Quattro - Sei - Sette - Tre - Uno - Zero
Eight - Five - Four - Nine - One - Seven - Six - Three - Two - Zero
... [per mia sfortuna, non conosco lo spagnolo]
Otto, invece, ha disposto le dieci cifre in ordine numerico, così è stato bocciato.
7. Una sequenza
Risposta inviata da Ivan D'Avanzo
1
11
21
1211
111221
312211
13112221
1113213211
31131211131221
13211311123113112211
La soluzione sta nel leggere i numeri in questo modo:
1 = Un 1 (cioè 11)
11= Due 1 (cioè 21)
21= Un 2 Un 1 (cioè 1211)
1211=Un 1 Un 2 Due 1 (cioè 111221)
111221= Tre 1 Due 2 Un 1(cioè 312211)
.................quindi l'ultimo numero
1113213211= Tre 1 Un 3 Un 2 Un 1 Un 3 Un 2 Due 1 (cioè 31131211131221)
Se poi si prosegue con il ragionamento, si nota che non si potranno mai verificare cifre >3 poiché da una cifra singola, si può passare al massimo a tre cifre consecutive, che vengono poi "raggruppate" nella cifra 3. Si dimostra inoltre che partendo da 1 l'unica sequenza di numeri con lo stesso numero di cifre di quella precedente è 11-21, infatti da 21 in poi le cifre aumenteranno sempre.
Bruno Berselli, di Bologna, segnala che anche la coppia
111221-312211
è costituita da due numeri aventi lo stesso numero di cifre.
A questo punto la domanda sorge spontanea, ce ne sono altre? Quante? Quali?
8. Il mio amico Fibonacci
Ringrazio Jack202 per la soluzione.
Definizione della serie di Fibonacci
F(0)=1
F(1)=1
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
----
Visto che F(a) = F(a-1) + F(a-2)
elevando al quadrato
F(a)^2 = F(a-1)^2 + F(a-2)^2 + 2F(a-1)F(a-2)
ovvero
F(a)^2 > F(a-1)^2 + F(a-2)^2
e visto che la serie di Fibonacci è crescente
a maggior ragione avremo
F(a)^2 > F(b)^2 + F(c)^2
con b,c diversi tra loro e minori di a
dunque uno tra b e c dovrà essere maggiore di a, ma questo ribalterà il segno dell'uguaglianza, sempre in base al fatto che la serie di Fibonacci è crescente.
Con ciò concludo la dimostrazione che nella serie di Fibonacci NON ESISTONO terne pitagoriche. Il discorso può essere inoltre generalizzato seguendo lo stesso filo conduttore fino a giungere alla proposizione
A) Se n è un numero naturale maggiore di uno, non esistono terne naturali (a,b,c) tali che
F(a)^n + F(b)^n = F(c)^n
Un simil-teorema di Fermat... anche se molto + scontato.
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