Progressioni aritmetiche

1. Generalità

Sia data una legge qualsiasi che ad ogni numero naturale n 0 faccia corrispondere un ben determinato numero reale che indichiamo con a_n. Questa legge, quindi, trasforma l’insieme numerico

1, 2, 3, ….,n 1, n,….

nell’insieme numerico

a₁, a₂, a₃,….,a_n1, a_n,….

Si dice allora che i numeri a₁, a₂, a₃,….,a_n1, a_n,…. sono ordinati in una successione, o che costituiscono una successione.

Le progressioni sono particolari successioni in cui il numero dei termini può essere illimitato o limitato.

Definizione. Si dice che la successione di numeri reali:

a₁, a₂, a₃,….,a_n1, a_n,….

costituisce una progressione aritmetica se e solo se la differenza tra un qualunque termine (diverso dal primo) e quello che lo precede è costante.

La differenza costante, caratteristica di ogni progressione aritmetica, si chiama ragionee si indica con d, mentre i termini che la costituiscono si dicono termini( o elementi) della progressione.

Per rappresentare una progressione aritmetica , si fa precedere la successione dei suoi termini dal simbolo « » scrivendo:

÷ a₁, a₂, a₃,….,a_n1, a_n,….

Per il momento ci occupiamo soltanto di progressioni finite, cioè di quelle costituite da un numero finito di termini. Esistono però, anche progressioni infinite, come ad esempio la progressione costituita dai numeri pari positivi presi in ordine crescente, cioè:

÷ 2, 4, 6,……,

Se una progressione è finita, il primo e l’ultimo e l’ultimo termine si chiamano estremi della progressione.

Siano ora ae b due termini consecutivi di una progressione aritmetica di ragione d. per definizione si ha:

ba = d

da cui si ricava:

b= a + d oppure a= b d.

Da queste uguaglianze possiamo dedurre che in una progressione aritmetica un termine qualunque si ottiene:

• dal precedente aggiungendo la ragione;
• dal seguente sottraendogli la ragione.

Da queste proprietà segue immediatamente che in una progressione aritmetica:

• se la ragione è positiva la progressione è crescente (cioè ogni termine è maggiore del precedente);
• se la ragione è negativa la progressione è decrescente (cioè ogni termine è minore del precedente);
• se la ragione è zero la progressione è costante (cioè tutti i termini sono uguali fra
• loro).