Esiste una formula che permette di trovare tutte le terne pitagoriche primitive?

Utilizzando le seguenti formule si possono ottenere delle terne pitagoriche:

a = m² - n²

b = 2mn

c = m² + n²

dove m, n sono numeri interi tali che m>n>0.

Le terne generate sono quindi del tipo:

m² – n² , 2mn , m² + n²

Dimostriamo che i tre valori a, b, c così calcolati formano una terna pitagorica.
Dobbiamo verificare che:
a² + b² = c²

Eleviamo al quadrato:

a = m² - n²---> a² = (m² - n²)² = m⁴ + n⁴ - 2m² n²

b = 2mn ---> b² = (2mn)² = 4 m²n²

c = m² + n²---> c² = (m² + n²)²

Sostituendo, abbiamo:
a² + b² = m⁴ + n⁴ - 2m² n² + 4 m² n² = m⁴ + n⁴ + 2m² n² = (m² + n²)² = c²

Come volevasi.

Queste formule permettono di generare tutte le terne primitive e anche alcune terne non primitive.

Ad esempio NON si può generare la terna 9, 12, 15, mentre si può generare la terna 12, 16, 20 (m = 4, n = 2).

Una terna generata da m, n è primitiva se e solo se m e n sono primi fra loro e m+n è dispari.

Una terna derivata si ottiene moltiplicando i tre termini di una terna primitiva per un fattore k intero positivo.