1° Problema.-
Scegliendo a caso un numero intero N di due cifre, qual è la probabilità che il resto della divisione N diviso 31 è zero?
Scegliendo a caso un numero intero N di due cifre, qual è la probabilità che il resto della divisione N diviso 31 è zero?
2° Problema.-
Undici amici vogliono farsi un regalo per Natale, ma non vogliono spendere molto e allora inventano il gioco dell'Amico Invisibile. In pratica ognuno riceverà un sol regalo da un amico sconosciuto (invisibile) scelto a sorte tra di loro.
Il nome della persona a cui fare il regalo viene deciso mediante un'estrazione da un sacchetto contenente i nomi degli undici amici.
Naturalmente potrebbe succedere che ognuno estragga il proprio nome e quindi deve farsi il regalo da sé, oppure che alcuni estraggano il proprio nome ed altri no.
Si chiede di calcolare la probabilità:
a) che ognuno estragga se stesso;
b) che tutti riceveranno un regalo da una persona diversa da se stessi.
c) ammesso che tra i primi 5 estratti nessuno abbia estratto il proprio nome, qual è la probabilità che almeno uno estragga il proprio nome nelle rimanenti 6 estrazioni?
d) come bisogna organizzare l'estrazione per evitare che qualcuno estragga il proprio nome?
e) Se ad ogni estrazione si adotta la convenzione di continuare solo se alla precedente non si sia verificato il caso che qualcuno abbia estratto il proprio nome, può succedere che primo o poi qualcuno sappia da chi riceve il regalo?
Undici amici vogliono farsi un regalo per Natale, ma non vogliono spendere molto e allora inventano il gioco dell'Amico Invisibile. In pratica ognuno riceverà un sol regalo da un amico sconosciuto (invisibile) scelto a sorte tra di loro.
Il nome della persona a cui fare il regalo viene deciso mediante un'estrazione da un sacchetto contenente i nomi degli undici amici.
Naturalmente potrebbe succedere che ognuno estragga il proprio nome e quindi deve farsi il regalo da sé, oppure che alcuni estraggano il proprio nome ed altri no.
Si chiede di calcolare la probabilità:
a) che ognuno estragga se stesso;
b) che tutti riceveranno un regalo da una persona diversa da se stessi.
c) ammesso che tra i primi 5 estratti nessuno abbia estratto il proprio nome, qual è la probabilità che almeno uno estragga il proprio nome nelle rimanenti 6 estrazioni?
d) come bisogna organizzare l'estrazione per evitare che qualcuno estragga il proprio nome?
e) Se ad ogni estrazione si adotta la convenzione di continuare solo se alla precedente non si sia verificato il caso che qualcuno abbia estratto il proprio nome, può succedere che primo o poi qualcuno sappia da chi riceve il regalo?
3° Problema.-
Una moneta viene lanciata per tre volte. Qual è la probabilità di ottenere due teste?
Una moneta viene lanciata per tre volte. Qual è la probabilità di ottenere due teste?
3'° Problema.- Una tetra-moneta (moneta con quattro facce: Giulio Cesare, Alessandro Magno, J. Kennedy e Silvio Berlusconi) viene lanciata tre volte. Qual è la probabilità di avere due volte Silvio Berlusconi
4° Problema.- Alla ricerca della moneta d’oro!
Una sola delle tre scatole A, B e C contiene una moneta d’oro: sceglietene una sola, ma non apritela.
4° Problema.- Alla ricerca della moneta d’oro!
Una sola delle tre scatole A, B e C contiene una moneta d’oro: sceglietene una sola, ma non apritela.
A B C
Quindi viene aperta una delle rimanenti, sicuramente vuota.
Si chiede di stabilire la miglior strategia da adottare - ovvero di calcolare la probabilità - per trovare la moneta d’oro.
Motivate la strategia adottata [ Il seguente problema è noto come il Problema di Monty Hall
Si chiede di stabilire la miglior strategia da adottare - ovvero di calcolare la probabilità - per trovare la moneta d’oro.
Motivate la strategia adottata [ Il seguente problema è noto come il Problema di Monty Hall
5° Problema.- Un'urna A contiene 12 palline di cui 4 bianche e 8 nere, un'urna B ne contiene 15 di cui 5 rosse e 10 verdi.
E' più probabile che estraendo 5 palline dall'urna A escano 4 palline bianche o che estraendone 6 palline da B escano 5 rosse? O la probabilità è la stessa?
[Ogni estrazione avviene nelle medesime condizioni iniziali, ossia dopo l'estrazione la pallina estratta viene reimmessa nella rispettiva urna]
E' più probabile che estraendo 5 palline dall'urna A escano 4 palline bianche o che estraendone 6 palline da B escano 5 rosse? O la probabilità è la stessa?
[Ogni estrazione avviene nelle medesime condizioni iniziali, ossia dopo l'estrazione la pallina estratta viene reimmessa nella rispettiva urna]
6° Problema.- Si distribuiscono 1000 scatole a 1000 persone, una per persona. Una sola delle scatole contiene una moneta d'oro.
Si sceglie a caso una persona, X, tra le 1000 e si aprono 998 scatole, sicuramente vuote, delle restanti 999. Indichiamo con Y (diverso da X) la persona che possiede l'ultima scatola, ancora chiusa.
Si chiede:
Si sceglie a caso una persona, X, tra le 1000 e si aprono 998 scatole, sicuramente vuote, delle restanti 999. Indichiamo con Y (diverso da X) la persona che possiede l'ultima scatola, ancora chiusa.
Si chiede:
- Qual è la probabilità che la moneta stia nella scatola della persona X?
- Immaginando di ripetere questo gioco 1000 volte, conviene alla persona X, cambiare la sua scatola con quella della persona Y?
- E' possibile che a X e Y conviene cambiare scatola?7° Problema.-
In una scatola ben chiusa sono stati inseriti i seguenti numeri:
1, 11, 111, 1111, 11111, 111111, 1111111, 2.
Pertanto, dato che i numeri composti con la cifra 1 sono la stragrande maggioranza, estraendo un numero a caso è più probabile che esca il numero 111 rispetto al numero 2.
E' corretto il ragionamento?8° Problema.-
Un tizio gioca l'ambo 23 e 35 sulla ruota di Napoli al gioco del Lotto Italiano.
Dopo l'estrazione incontra un suo amico e gli dice: << Guarda come sono sfortunato, ho giocato il 23 ed il 35 ed è uscito il 23 ed il 34. Ho perso un ambo per un solo numero, che sfortuna! >>
Ha ragione a dire di essere sfortunato?9° Problema.-
Antonio partecipa ad un gioco che consiste nello scegliere da una scatola una pallina tra due palline contrassegnate dai numeri 1 e 2. La scatola è divisa in due parti, quella destra e quella sinistra. Antonio non sa che è Riccardo a decidere quale pallina sarà inserita a destra e quale a sinistra della scatola. Calcolare la probabilità che ha Antonio di scegliere la pallina 1, senza sapere che è Riccardo a decidere e sapendo che è Riccardo a decidere.
Inoltre, stabilire se è corretto il seguente ragionamento: dato che Riccardo può scegliere di inserire la pallina 1 a destra, Rs, o a sinistra, Rd, e dato che anche Antonio può scegliere tra destra, As , e sinistra, Ad, si hanno le seguenti possibilità:Rs(1)As(1) allora Antonio trova la pallina 1
Rs(1)Ad(1) allora Antonio non trova la pallina 1
Rd(1)As(1) allora Antonio non trova la pallina 1
Rd(1)Ad(1) allora Antonio trova la pallina 1quattro casi possibili e due favorevoli?N.B. Il simbolo Rs(1)As(1) significa che Riccardo decide di inserire la pallina 1 nella parte sinistra e Antonio sceglie la parte sinistra della scatola per estrarre la pallina 1, analogamente per gli altri simboli.a) Ripetere l'esperimento dieci volte e stabilire se può essere utile ad Antonio sapere che è Riccardo a decidere in qualche modo come posizionare la pallina 1 nella parte destra o sinistra della scatola.10° Problema.-Da un'urna si può estrarre una pallina tra tre: 1, 2, 3.
b) Ipotizzando che Riccardo decida di inserire la pallina 1 a destra della scatola se estraendo un numero tra dieci esce il 3 e di posizionarla a sinistra in tutti gli altri casi, può questa informazione tornare utile ad Antonio ripetendo l'esperimento per 10 volte? Per 100 volte?
Si fanno 4 estrazioni successive, ogni volta si estrae una pallina tra le tre. Calcolare la probabilità che si verifichi l'evento E = {1, 1, 1, 1} ossia che per tutte e quattro le estrazioni esca sempre la pallina contrassegnata con il numero 1.
a) Quanti sono i casi in cui non esce il 3 per tutte le 4 estrazioni?
b) Quanti sono i casi possibili?
c) E' più probabile che si verifichi un evento del tipo E = {1, 1, 1, 1} o del tipo F = {1, 2, 1, 3}?
d) Sapendo che il 3 è ritardatario, nel senso che non esce per 4 estrazioni, può questa informazione essere utile per calcolare la probabilità di uscita del 3 alla quinta estrazione?
e) Conoscendo il meccanismo di funzionamento dell'estrazione della pallina si può congetturare che il 3, ritardatario, debba per forza di cose uscire nella quinta estrazione a "danno" delle palline 1 e 2? Che si può dire a riguardo?
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