Protesta Globale di mark katana: Equazioni di Eulero (dinamica)

Le equazioni di Eulero sono due equazioni differenziali (la terza è da considerarsi a parte) che descrivono il moto di sistemi meccanici nell'approccio newtoniano, permettendo di studiare il comportamento globale del sistema prescindendo da ciò che avviene per le sue singole componenti.
L'importanza delle equazioni di Eulero è quella di semplificare la descrizione di un sistema, attraverso la riduzione dei suoi gradi di libertà. Un esempio notevole di applicazione è l'introduzione del modello di corpo rigido per la descrizione di oggetti macroscopici.

Sistemi di masse [modifica]

In meccanica, in special modo nella statica e nella geometria delle masse, ai fini di esemplificare al massimo i metodi calcolistici richiesti per risolvere eventuali problemi, è conveniente introdurre il concetto di "sistema di masse".
Un sistema di masse, come è facilmente intuibile, altro non è che l'insieme di corpi (dotati, quindi, di massa), puntiformi o estesi, oggetti dello studio, analitico o grafico, da effettuare. I sistemi di masse possono essere:

Sistemi di masse continui, quando sono composti da corpi estesi

Sistemi di masse discreti, quando sono composti da corpi puntiformi

Prima equazione cardinale [modifica]

La prima equazione cardinale descrive il moto traslatorio di un sistema. Un risultato importante dal punto di vista intuitivo è che il centro di massa si muove come un punto materiale di massa M pari alla massa totale del sistema e soggetto a una forza uguale alla risultante delle forze esterne agenti. Essa prende la forma:

$\mathbf{F}=\frac{ \mathrm{d} \mathbf{Q}}{\mathrm{d}t}$

che nel caso di sistema chiuso si riduce a:

$\mathbf{F}=M \mathbf{a}_{cm}$

dove

$\mathbf{F}=\begin{matrix}\sum_{i}^N\mathbf{F}_i\end{matrix}$ è la risultante delle forze esterne agenti sul sistema
$\mathbf{Q}=\begin{matrix}\sum_{i}^N\mathbf{q}_i\end{matrix}$ è la quantità di moto del sistema
$M=\begin{matrix}\sum_{i}^N m_i\end{matrix}$ è la massa totale del sistema

$\mathbf{a}_{cm}= \frac{\mathrm{d^2} \mathbf{r}_{cm}}{\mathrm{d}t^2} = \frac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d} t^2} \left ( \frac{1}{M} \begin{matrix}\sum_{i}^N m_i \end{matrix} \mathbf{r}_{i} \right ) = \frac{1}{M}\begin{matrix}\sum_{i}^N \end{matrix}m_i \frac{\mathrm{d^2} \mathbf{r}_{i}}{\mathrm{d}t^2}$ è l'accelerazione del centro di massa

Si può osservare che ponendo F=0 (equivalente alla richiesta che un sistema risulti isolato) si trova che la quantità di moto del sistema è costante. Questo teorema prende il nome di legge di conservazione della quantità di moto.

Dimostrazione [modifica]

Assumendo che le masse non varino nel tempo (Meccanica Classica), si può scrivere:

$\mathbf{F}=\sum_{i}^N m_i \mathbf{a}_i=\sum_{i}^N m_i \frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_i}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{Q}}{\mathrm{d}t}$

che è una scrittura compatta della prima equazione cardinale. Si potrebbe anche scrivere:

$\mathbf{F}=M\frac{\sum_{i}^N\mathbf{F}_i}{M}=M\mathbf{a}_{cm}$

Questa seconda forma presenta il vantaggio di mettere in evidenza la massa totale M del sistema e l'accelerazione del centro di massa.

Seconda equazione cardinale [modifica]

La seconda equazione cardinale descrive il moto rotatorio del sistema:

$\frac{\mathrm{d} \mathbf{L}}{\mathrm{d}t}= \mathbf{M} - \mathbf{V}_{\Omega} \times \mathbf{Q}$

dove

$\mathbf{M}=\begin{matrix}\sum_{i}^N\mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_i\end{matrix}$ è il momento meccanico totale che agisce sul sistema
$\mathbf{L}=\begin{matrix}\sum_{i}^N \mathbf{r}_i \times \mathbf{q}_i\end{matrix}$ è il momento angolare del sistema
$\mathbf{Q}=\begin{matrix}\sum_{i}^N\mathbf{q}_i\end{matrix}$ è la quantità di moto del sistema
$\mathbf{R}_{\Omega}$ e $\mathbf{V}_{\Omega}$ sono rispettivamente la posizione e la velocità del polo (nome che diamo al punto arbitrario rispetto al quale si calcola il momento angolare)

Nel caso in cui la velocità del polo sia nulla (o in direzione parallela al vettore quantità di moto totale del sistema) l'equazione assume la forma semplificata:

$\mathbf{M}=\frac{\mathrm{d} \mathbf{L}}{\mathrm{d}t}$

Anche in questo caso si osserva che ponendo M=0 ritroviamo il risultato importante della conservazione del momento angolare.

Dimostrazione [modifica]

Si calcola il momento angolare di un sistema di punti materiali rispetto a un polo $\Omega$ . Chiamiamo $R'_i=R_i - R_{\Omega}$ la posizione del punto i-esimo nel sistema di riferimento del polo.

$\mathbf{L}_{\Omega}= \sum_{i}^N \mathbf{R'}_i \times \mathbf{q}_i$

Ora lo deriviamo rispetto al tempo. Si fa uso della regola di derivazione del prodotto di funzioni.

$\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_{\Omega}}{\mathrm{d}t}= \sum_{i}^N \left[ \frac{\mathrm{d}\mathbf{R'}_i}{\mathrm{d}t} \times \mathbf{q}_i + \mathbf{R'}_i \times \frac{\mathrm{d}\mathbf{q}_i}{\mathrm{d}t}\right] = \sum_{i}\left[ \frac{\mathrm{d}\mathbf{R}_i}{\mathrm{d}t}\times \mathbf{q}_i \right] - \sum_{i}\left[ \frac{\mathrm{d}\mathbf{R}_{\Omega}}{\mathrm{d}t} \times \mathbf{q}_i\right] + \mathbf{M}$

Si osserva che il primo dei tre termini è $\begin{matrix} \sum_{i} \frac{1}{m_i} \left( \mathbf{q}_i \times \mathbf{q}_i \right) \end{matrix}=0$ , per le proprietà dei prodotti vettoriali. Il secondo termine è:

$\sum_{i}\left[ \frac{\mathrm{d}\mathbf{R}_{\Omega}}{\mathrm{d}t} \times \mathbf{q}_i\right] = \mathbf{V}_{\Omega} \times \sum_i \mathbf{q}_i= \mathbf{V}_{\Omega} \times \mathbf{Q}$

Dunque in definitiva:

$\frac{\mathrm{d} \mathbf{L}}{\mathrm{d}t}= \mathbf{M} - \mathbf{V}_{\Omega} \times \mathbf{Q}$

che è proprio la nostra tesi.

Terza equazione cardinale [modifica]

La terza equazione cardinale fornisce una descrizione superiore del moto sia traslatorio che rotatorio del sistema attraverso il concetto di potenza, ma non è necessaria alla determinazione dello stesso:

$\frac{\mathrm{d}{W}}{\mathrm{d}t}= \mathbf{F} \cdot \mathbf{V}_O+ \mathbf{M} \cdot \mathbf{\Omega}_O$

dove

${W}=\begin{matrix}\sum_{i}^N\mathbf{f}_i\cdot\mathbf{r}_i \end{matrix}$ è il lavoro totale che agisce sul sistema
$\mathbf{F}=\begin{matrix}\sum_{i}^N\mathbf{r}_i \times \mathbf{f}_i\end{matrix}$ è la risultante che agisce sul sistema
$\mathbf{M}=\begin{matrix}\sum_{i}^N\mathbf{m}_i \times \mathbf{f}_i\end{matrix}$ è il risultante che agisce sul sistema
$\mathbf{\Omega}_{O}$ e $\mathbf{V}_{O}$ sono rispettivamente la velocità angolare e la velocità del polo O (nome che diamo al punto arbitrario rispetto al quale si calcola il momento angolare)

Dimostrazione [modifica]

Si calcola il lavoro totale (che non chiamiamo L solo per non confonderlo col momento angolare totale) di un sistema di punti materiali rispetto a un polo $O$ . Chiamiamo $r'_i=r_i - R_O$ la posizione del punto i-esimo nel sistema di riferimento del polo. Per la equazione fondamentale della cinematica, e poiché le forze interne non lavorano:
$dW=\sum{dw}=\sum{\mathbf{f_i\cdot d\mathbf r_i}}=\sum{\mathbf f_i\cdot (\mathbf{V}_O+\mathbf{\Omega_O}\times\mathbf{r'_i})dt}=$

$=\sum{\mathbf f_i\cdot\mathbf{V}_O} dt + \sum{\mathbf f_i \mathbf{\Omega_O}\times\mathbf{r'_i}}dt =$

$=\sum{\mathbf f_i} \cdot\mathbf{V}_O + \sum{\mathbf{\Omega_O}\cdot\mathbf{r'_i}\times\mathbf f_i}dt =$

$=(\sum{\mathbf f_i} \cdot\mathbf{V}_O + \mathbf{\Omega_O}\cdot\sum{\mathbf{m_i}})dt =$

Dunque in definitiva la potenza risulta:

$\frac{\mathrm{d}{W}}{\mathrm{d}t}= \mathbf{F} \cdot \mathbf{V}_O+ \mathbf{M} \cdot \mathbf{\Omega}_O$

che è proprio la nostra tesi: la potenza deriva quindi da tutti i tipi di forze generalizzate, confermando la sintesi della meccanica lagrangiana.

Protesta Globale di mark katana

lunedì 16 aprile 2012

Equazioni di Eulero (dinamica)

Sistemi di masse [modifica]

Prima equazione cardinale [modifica]

Dimostrazione [modifica]

Seconda equazione cardinale [modifica]

Dimostrazione [modifica]

Terza equazione cardinale [modifica]

Dimostrazione [modifica]

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