Protesta Globale di mark katana: Teorema di Huygens-Steiner

lunedì 16 aprile 2012

Teorema di Huygens-Steiner

Il teorema di Huygens-Steiner (Huygens in Italiano si legge "Oighens"), o teorema degli assi paralleli, permette di calcolare il momento di inerzia di un solido rispetto ad un asse parallelo a quello passante per il centro di massa evitando in molti casi (dove è presente una struttura simmetrica) il laborioso calcolo diretto.

Enunciato [modifica]

Il momento rispetto ad un asse a, parallelo ad un altro c passante per il centro di massa, si ottiene sommando al momento di inerzia rispetto a c il prodotto tra la massa del corpo e la distanza al quadrato tra gli assi c ed a.
$I_{zz} = I_{cm} + M d^{2}\,$ .

Dimostrazione [modifica]

Figura per la dimostrazione

Si consideri un sistema di riferimento 0xy con l'origine nel centro di massa e un altro sistema di riferimento traslato lungo l'asse x di una certa quantità, in modo che le coordinate siano $y = y'\,$ e $x = x' + d\,$ , dove d è la distanza tra l'asse passante per il centro di massa e quello parallelo di rotazione (rispetto al quale calcoliamo il momento).
Si consideri un elemento infinitesimo dm, il cui momento di inerzia rispetto al centro di massa è dato da $dI = R^{2} dm\,$ . Integrando lungo tutto il corpo e considerando questo sistema di riferimento ( $R^{2} = x^{2} + y^{2}\,$ ) si ha che

$I_{cm} = \int (x^{2} + y^{2}) dm\,$ .

Ora calcoleremo direttamente il momento di inerzia rispetto al nostro nuovo asse z. Si prenda dunque un elemento dm e si consideri il sistema di rif. traslato; poiché $R'^{2} = x'^{2} + y'^{2}\,$ , applicando le trasformazioni nel sistema di riferimento precedente e integrando lungo tutto il corpo si ha

$I_{zz} = \int (x'^{2} + y'^{2}) dm = \int [(x-d)^{2} + y^{2}] dm\,$ .

Sviluppando il quadrato si ottiene $I_{zz} = \int [x^{2} + d^{2} -2xd + y^{2}] dm\,$ e, raccogliendo, si ha

$I_{zz} = \int [x^{2} + y^{2}]dm + d^{2} \int dm - 2d \int x dm\,$ .

Il primo termine è proprio il momento di inerzia rispetto all'asse passante per il centro di massa $I_{cm}\,$ , calcolato precedentemente. Il secondo termine è pari alla quantità $M d^{2}\,$ , mentre il terzo termine è nullo, poiché l'integrale di xdm è l'ascissa del centro di massa nel sistema del centro di massa stesso e pertanto - essendo sull'origine - è pari a 0.
Si ottiene quindi il risultato finale:

$I_{zz} = I_{cm} + M d^{2}\,$ .

Teorema e figura

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