Esercizi - Algebra degli Infiniti e degli Infinitesimi

bbiamo già accennato al fatto che l'Algebra degli Infiniti e degli Infinitesimi non copre tutti i possibili casi. Essa rende possibili calcoli che prima non eravamo in grado di svolgere, e il suo funzionamento è in tutto e per tutto simile all'Algebra dei Limiti standard. I casi peggiori, quelli in cui anche l'Algebra degli Infiniti e degli Infinitesimi non basta, vanno sotto il nome di Forme di Indecisione e ce ne occuperemo nel seguito.

Dunque: qui hai una lista di limiti da calcolare. Alcuni li risolvi con l'Algebra degli Infiniti e degli Infinitesimi, altri no. Se non puoi, per il momento la soluzione all'esercizio è: "non posso". Il primo esercizio è svolto, per gli altri trovi in fondo le soluzioni.

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0)

Svolgimento: Conoscendo il comportamento della funzione logaritmo naturale, sappiamo che per valori sempre più grandi delle ascisse x abbiamo valori sempre più grandi del logaritmo. Dunque, quando . A cosa dobbiamo elevare questo infinito positivo? L'esponente è , e se dobbiamo elevare a...più infinito . L'esponente è quindi di segno positivo, e l'Algebra degli Infiniti e degli Infinitesimi ci dice che

Il limite vale quindi

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I) [il logaritmo naturale, avvicinandosi a zero da destra, assume valori negativi sempre più grandi, quindi è come se fosse...(pensa al grafico!)]

II) [(-3)⁺ vuol dire a destra di -3, per fissare le idee puoi pensare a -2.999]

III)

IV) [attenzione, ⁺ vuol dire "a destra di"...]

V) [(-1)^{+} vuol dire a destra di -1, ad esempio pensa a -0.999]

VI) [0^{+} vuol dire a destra di 0, un "molto poco" positivo, ad esempio pensa a 0.001]

VII)

VIII)

IX)

X)

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Soluzioni: I) II) perchè trovi III) Trovi dunque non puoi rispondere! IV) , infatti poco oltre il coseno vale poco meno di zero, cioè , mentre il denominatore è V) perche l'argomento del logaritmo è , e VI) , infatti troviamo VII) Non possiamo rispondere: abbiamo che a priori non fa zero e non fa infinito! VIII) , perchè è potenza dispari (3) di meno infinito. Occhio che IX) Non possiamo rispondere, infatti avremmo X) 0.