CERCASI SPONSOR E DONAZIONI --- CERCASI SPONSOR E DONAZIONI --- CERCASI SPONSOR E DONAZIONI

lunedì 16 aprile 2012

Teoria delle piccole oscillazioni (meccanica razionale)

Lo studio delle piccole oscillazioni o dei piccoli moti consiste nell'approssimazione lineare delle equazioni di Eulero-Lagrange nell'intorno di un punto di equilibrio stabile di un sistema meccanico conservativo a n gradi di libertà. In tal modo si ottengono informazioni utili in generale per il moto in un intorno della posizione d'equilibrio, e soprattutto in quei problemi in cui sono presenti oscillazioni periodiche, evitando la risoluzione generale delle equazioni stesse più ardua in quanto del second'ordine. In questo intento si avvicina alle più generali equazioni di Hamilton per il moto.


Costruzione della lagrangiana d'equilibrio [modifica]

Si valuta quindi la lagrangiana nella posizione di equilibrio. In questo punto sta lo spirito e il significato della teoria delle piccole oscillazioni: infatti la nuova lagrangiana costruita non è quella del sistema, ma una lagrangiana approssimata nella posizione di equilibrio, risultato di una linearizzazione al secondo ordine del potenziale. In tal modo le soluzioni della nuova lagrangiana differiscono poco da quelle della lagrangiana originaria nei punti di equilibrio stabile, cosa che non avviene nei punti di equilibrio instabile: poiché l'equilibrio è stabile in quei punti una piccola differenza non provoca cambiamenti dell'equilibrio. La nuova lagrangiana è:
L' = \bar T-\bar U'=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n A_{ij} \cdot \dot q_i \cdot \dot q_j - \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n B_{ij} \cdot q_i \cdot q_j
dove A_{ij} = a_{ij}|_{\bar q} e B_{ij}=b_{ij}|_{\bar q} sono la matrice dell'energia cinetica e l'hessiano di U calcolati nella posizione di equilibrio stabile \bar q.
La nuova lagrangiana fornisce nuove equazioni di Lagrange della posizione di equilibrio che sono le equazioni linearizzate:
\sum_{j=1}^{n} A_{ij} \cdot \ddot q_j + \sum_{j=1}^{n} B_{ij} \cdot q_j = 0
sistema di equazioni differenziali omogenee del secondo ordine.

Soluzioni delle equazioni linearizzate del moto [modifica]

Cercando soluzioni complesse del tipo q_j=K_je^{i\omega_j t}\,\! si ricava che risolvere le equazioni del moto significa risolvere il problema agli autovalori \lambda_j=\omega_j ^2\,\!:
det(B-\omega ^2 A) = 0\,\!
Le soluzioni delle equazioni linearizzate sono della forma:
q_i(t) = \sum_{i=1}^{n} C_{ij} q_0j (t)
In definitiva risolvere il problema delle piccole oscillazioni intorno a posizioni di equilibrio corrisponde quindi a trovare una matrice diagonalizzante C, dove:
q_0j(t) = \alpha_j \cos \left(\omega_j \cdot t + \beta_j \right),
la matrice invertibile Cij è composta dagli autovettori in colonna normalizzati soluzioni di:
det(B-\omega_j^2 A) u_j= 0\,\!
e \alpha_j\,\! e \beta_j\,\! sono costanti di integrazione deducibili dalle condizioni iniziali.
Le traiettorie q_0j(t)\,\! sono chiamati modi normali e gli ωj sono detti frequenze proprie del sistema. Fisicamente q0j(t) rappresenta allora un'oscillazione di frequenza \omega_j = \sqrt{\lambda_j}: in pratica la soluzione delle equazioni linearizzate ci dice che il moto di un sistema ad n-gradi di libertà intorno alla posizione di equilibrio, nell'approssimazione di piccole perturbazioni, è composto da un numero n di moti oscillatori indipendenti l'uno dall'altro corrispondenti a tutte le frequenze possibili \pm \omega_j.
Pubblicato da alle

Nessun commento:

Posta un commento

Iscriviti a: Commenti sul post (Atom)