Protesta Globale di mark katana: Trasformata di Legendre

Trasformazione di Legendre di una generica funzione $f(x)$ . La funzione è disegnata in rosso, e la retta tangente a $x_0$ è in blu. La retta tangente interseca l'asse verticale in (0, −f^*) e f^* è il valore della trasformata di Legendre f^*(p) dove $p=\dot{f}(x_0)$ .

La trasformata di Legendre $f^\star$ è un procedimento che trasforma una funzione $f(x)\,$ in un'altra dipendente esplicitamente dalla derivata di f invece che dalla x . Se definiamo p= df/dx come la nuova variabile, allora possiamo scrivere la nuova funzione come $f^\star(p)\,$ e la chiameremo trasformata di Legendre della funzione $f\,$ .
Un modo di scrivere esplicitamente la $f^\star(p)\,$ si ottiene differenziando la funzione $f\,$ :

$df = f'(x)\,dx = \frac{df}{dx}dx = p\,dx$

introducendo la funzione ausiliaria $g = f-px\,$ si ha, allora:

$dg = df-p\,dx-x\,dp = -x\,dp$

che implica $x(p) = -\frac{dg}{dp}\,$ . La funzione ausiliaria $g\,$ si chiama generatrice, e permette di scrivere $f[x(p)]\,$ .
Un esempio pratico: nel caso in cui $f(x) = \log x\,$ , si ottiene che $p = \frac{df}{dx} = \frac{1}{x}\,$ e quindi $f^\star(p) = \log \frac{1}{p}\,$ ; con procedimento formale, invece, servendoci della generatrice, si ha:

$g = \log x -px\,$

$x = -\frac{dg}{dp} = -\frac{1}{x}\frac{dx}{dp} +p\frac{dx}{dp} +x \,$

e semplificando:

$\frac{1}{x}\frac{dx}{dp} = p\frac{dx}{dp} \ \Rightarrow \ \frac{1}{x} = p\,.$

Le trasformate di Legendre sono utilizzate in fisica in più campi, quali la termodinamica e la meccanica analitica.

Definizione [modifica]

La trasformata di Legendre di una funzione reale convessa $f$ è definita come:

$f^\star(p) = \max_x(px-f(x))$

dove la notazione $\max_x \,$ indica il massimo dell'espressione rispetto alla variabile x con p costante.
Una definizione alternativa si ottiene massimizzando la funzione $g(x,p)=px-f(x)$ rispetto alla variabile x. I punti stazionari si ottengono imponendo:

$\frac{\partial g(x,p)}{\partial x}=p-f'(x)=0 \ \Rightarrow \ p=f'(x)$

La relazione trovata in realtà massimizza la g(x), come si osserva dalla derivata seconda, tenendo conto della convessità:

$\frac{\partial ^2g(x,p)}{\partial x^2}=-f''(x)<0$

Quindi si può in definitiva usare come definizione alternativa (e operativa) la seguente:

$f^\star (p)=px(p)-f(x(p))$

Esempio: l'Hamiltoniana [modifica]

Per approfondire, vedi la voce equazioni di Hamilton.

In meccanica analitica la funzione Hamiltoniana $H(q_i,p_i,t)\,\!$ è data dalla trasformata di Legendre della funzione Lagrangiana $\mathcal{L}(q_i,\dot q_i,t)$ , con $p_i=\frac {\mathbf d \mathcal{L}} {\mathbf d \dot q_i}$ .
Ponendoci nel caso di sistemi ad un grado di libertà (un'unica coordinata lagrangiana), e ricordando le equazioni di Eulero-Lagrange, scriviamo il differenziale di $L(q,\dot q,t)$ :

$\mathbf d \mathcal{L}=\frac{\partial \mathcal{L}}{ \partial q}dq+\frac{ \partial \mathcal{L}}{ \partial \dot q}d\dot q+\frac{ \partial \mathcal{L}}{ \partial t}dt=\dot pdq+pd\dot q+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}dt=\dot pdq+d(\dot qp)-\dot qdp+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}dt$

da cui

$d(\dot qp-\mathcal{L})=-\dot pdq+\dot qdp-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}dt.$

Quello che si è fatto è trasformare la lagrangiana in un'altra equazione dipendente esplicitamente dalla sua derivata rispetto a $q$ , cioè dipendente da:

$p = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot q}$

Se poniamo $H(q,p,t)=\dot q(t)p(t)-\mathcal{L}(q,\dot q(q,p,t),t)$ , sapendo che il differenziale di $H(q,p,t)\,\!$ , dipendente da $q$ e $p$ , è:

$dH=\frac{\partial H}{\partial q}dq+\frac{\partial H}{\partial p}dp+\frac{\partial H}{\partial t}dt$

uguagliando i membri otteniamo le equazioni di Hamilton:

$\dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p}$

$\dot{p} = - \frac{\partial H}{\partial q}$

${\partial \mathcal{L} \over \partial t }= -{\partial H \over \partial t }$

dove $p$ e $q$ sono le sue variabili canoniche hamiltoniane.
Si procede analogamente nel caso di n coordinate lagrangiane.

Esempio: funzioni termodinamiche [modifica]

Per approfondire, vedi la voce funzione di stato.

Per il primo principio della termodinamica abbiamo:

$dU = \delta Q - pdV\,$

$\delta Q=pdV + dU\,$

per la definizione di entropia, in condizioni quasistatiche reversibili:

$\delta Q=TdS\,$

Sostituendo:

$dU(S,V)=TdS-pdV\,$

Assumiamo come variabili libere (o naturali) S e V, cioè esprimiamo ogni altra funzione di stato in funzione di queste due (sufficienti a descrivere lo stato del sistema). Differenziando U:

$dU(S,V)=\frac{\partial U(S,V)}{\partial S}dS+\frac{\partial U(S,V)}{\partial V}dV$

da cui

$T=\left(\frac{\partial U(S,V)}{\partial S}\right)_V \qquad p=-\left(\frac{\partial U(S,V)}{\partial V}\right)_S$

Usando il teorema di Schwartz ricaviamo la seguente relazione (equazione di Maxwell):

$\left (\frac{\partial T}{\partial V}\right)_S =-\left (\frac{\partial p}{\partial S}\right)_V$

Ora possiamo operare delle trasformate (non standard) di Legendre sull'energia interna per ottenere altre funzioni termodinamiche ed altre utili relazioni sulle varie grandezze di volta in volta derivate o tenute costanti. I calcoli sono assolutamente analoghi agli esempi precedenti a patto di cambiare di volta in volta le variabili libere del sistema: