Trattazione quantistica dell’atomo di idrogeno

L’idrogeno presenta un solo elettrone in moto intorno al nucleo che può essere considerato fisso all’origine delle coordinate cui corrispondono molte funzioni d’onda e molte energie corrispondenti.
Lo stato ad energia minore è detto stato fondamentale. Secondo la teoria di Bohr l’elettrone si muove attorno al nucleo su di un cerchio il cui raggio è denominato raggio della prima orbita, o più semplicemente raggio di Bohr e si indica con a_o. Questo raggio è legato alla massa m e alla carica e dell’elettrone dalla formula:
a_o = h²/ 4π²me² = 5.29 x 10^-9 cm
da cui 1/h²= 1/4π²me²a_o
Analogamente, l’energia permessa vale
E = – 2π²me⁴/h² = – 2π²me⁴/4π²me²a_o = – e²/ 2 a_o = – 13.6 eV
Essendo 1 eV l’energia che acquista un elettrone quando passa da un punto all’altro fra i quali vi sia una d.d.p. di 1 V.
Il segno meno indica che tale energia va fornita, ovvero indica il lavoro da fare per separare protone ed elettrone portandoli a distanza infinita con il moto che si svolge esclusivamente in un piano.
Secondo la teoria della meccanica ondulatoria questo elettrone è invece rappresentato da una adeguata funzione d’onda. Si trova che

Ψ = √ e^-r/ao/ π a_o³

Dove r è la distanza dall’origine. La densità di probabilità ρ è allora

ρ  = e^-r/ao/ πa_o³

si noterà che il moto si svolge in uno spazio a tre dimensioni e che ρ ha simmetria sferica rispetto all’origine.
L’idrogeno,tuttavia, non ha solo l’orbitale atomico corrispondente allo stato fondamentale che è quello più importante dal momento che un atomo è normalmente nello stato a minor energia. Vi sono infatti molte altre energie permesse cui corrispondono molte corrispondenti funzioni d’onda.

In figura sono rappresentati alcuni degli orbitali atomici utilizzati più frequentemente, compreso quello precedentemente considerato, ora indicato con il nome spettroscopico 1s.

La classificazione nei tipi s,p,d,…, dei quali si hanno esempi nelle figure
 


è la più significativa. Gli orbitali atomici di tipo s hanno simmetria sferica, quindi la densità della nuvola di carica è funzione solo di r. Tutti gli altri sono asimmetrici: ad esempio vi sono tre orbitali atomici tipo p ed escludendo quella parte della nuvola elettronica che è molto vicina all’origine, e non interviene nella formazione della molecola, in una delle regioni Ψ è positiva e nell’altra è negativa.
Questi orbitali sono nettamente orientati e la loro direzione viene evidenziata per mezzo di un suffisso p_x ,p_y ,p_z. questi tre orbitali p sono perfettamente equivalenti tranne che nella direzione.
Una caratteristica importante di questi orbitali atomici è che le regioni dove Ψ ha segno opposto sono separate da un piano nodale nel quale Ψ = 0
Per esempio, nell’orbitale p_x il piano nodale è x = 0 e questo appare ovvio sapendo che per l’orbitale atomico tipo p_x

Ψ ( p_x) = x ( funzione di r)

Vi sono poi cinque orbitali di tipo d. Per qualche aspetto, ma non per tutti, un’orbita d è come la sovrapposizione di due orbitali p, in quanto presenta quattro regioni simili di segno alternato separate da due piani nodali.
In presenza di orbitali atomici completamente equivalenti, ma indipendenti, è ovvio che essi corrispondono alla stessa energia permessa. In tal caso si dice che il livello energetico è degenere e il numero di orbitali atomici equivalenti dà il grado di degenerazione.
In tabella è indicata la degenerazione dei diversi tipi di orbitali atomici.

Degenerazione degli orbitali atomici
s	Non degenere
p	Tre volte degenere
d	Cinque volte degenere
f	Sette volte degenere

Poiché molto di quanto è stato detto si applica anche ad altri atomi è conveniente riassumere la trattazione sotto forma di una serie di proprietà:

1.          L’elettrone è caratterizzato da una funzione d’onda Ψ e della corrispondente energia E, soluzioni accettabili dell’equazione d’onda. La funzione d’onda può essere definita un orbitale atomico, e Ψ² indica la probabilità di trovare l’elettrone in ogni regione
2.       Gli orbitali atomici sono caratterizzati da numeri quantici tra i quali l determina il tipo s,p,d,f dell’orbitale e definisce la forma geometrica e la degenerazione.
3.      Sono permesse transizioni tra livelli energetici differenti, in conseguenza di assorbimento o di emissione di luce. La relazione tra il cambiamento di energia E₁- E₂ e la frequenza della luce ν₁₂   costituisce la nota legge di Plank : E₁ – E₂ = h ν₁₂
4.    Non tutte le transizioni sono consentite e le regole di selezione limitano i salti permessi. Queste regole di selezione affermano che mentre n può cambiare arbitrariamente, il momento magnetico non cambia affatto e il numero quantico secondario varia di ± 1 .

Ciò significa che le transizioni permesse sono
s →p
p → s   o  d
d → p   o  f