Protesta Globale di mark katana: verifica del: lim x--> +infinito log in base 1/3 di (x+2)=

mercoledì 11 aprile 2012

verifica del: lim x--> +infinito log in base 1/3 di (x+2)= - infinito

per verificare un limite che tende ad infinito negativo quando la

va ad infinito positivo, dobbiamo prima ricordarne la definizione.

Definizione: Sia

una funzione con dominio illimitato superiormente; si ha che

$\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$

$\forall \; M > 0 \qquad \exists \; \delta_M > 0 \qquad \text{tale che se } \; \; \; x > \delta_M$

allora si ha

Adesso passiamo al caso in oggetto; dobbiamo verificare il limite

$\lim_{x \to + \infty} \log_{1/3}{(x + 2)} = - \infty$

Dobbiamo quindi risolvere la disuguaglianza

$\log_{1/3}{(x + 2)} = - \log_{3}{(x + 2)} < - M$

in un intorno di $+ \infty$ ; il logaritmo esiste solo quando x > - 2

perciò non abbiamo grossi problemi circa le soluzioni ( e vedremo più avanti perché ).

Iniziamo quindi con l'elevare 3 alle due quantità per rimuovere il logaritmo, dopo aver moltiplicato per - 1 da entrambe le parti..

$3^{\log_{3}{(x + 2)}} > 3^M$

Ricaviamoci la

$x + 2 > 3^M \implies x > 3^M - 2$

Ed ecco qui il bello: la quantità a secondo membro è sicuramente maggiore

perché per ipotesi si ha M > 0

.. la disequazione è dunque verificata in

$S : \left(3^M - 2, + \infty \right)$

Poiché questo intervallo risulta essere un intorno di più infinito, allora possiamo concludere che il limite è verificato.
E basta prendere

$\delta_M = 3^M - 2$

Protesta Globale di mark katana

mercoledì 11 aprile 2012

verifica del: lim x--> +infinito log in base 1/3 di (x+2)= - infinito

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