Protesta Globale di mark katana: Quattro esercizi di verifica dei limiti con la definizione

mercoledì 11 aprile 2012

Quattro esercizi di verifica dei limiti con la definizione

1. Verificare che lim per n-->-2 (3x²-1)=11. Per la definizione di limite, in corrispondenza ad un arbitrario epsilon>0 è possibile determinare un intorno H di -2 tale che per ogni x (escluso al più -2) risulti: |(3x²-1)-11|<epsilon. Occorre risolvere la disequazione |3x²-12|<epsilon, che equivale a 12-epsilon<3x²<12+epsilon. Dividendo tutti i membri della disuguaglianza per 3 si ha 4-(epsilon/3)<x²<4+(epsilon/3). Poichè devo risolvere per x, faccio la radice quadrata di tutti i membri ottenendo -radical(4-epsilon/3)<x<radical(4+epsilon/3). Questo è l'intorno da -2 cercato.
2. Verificare che lim per x-->2 di 3^x=9. Vale la definizione di cui sopra, per cui risolviamo la disequazione |3^x-9|<epsilon. Questa equivale a 9-epsilon<3^x<9+epsilon. Passando dall'esponenziale al logaritmo si ha log₃(9-epsilon)<x<log₃(9+epsilon). Questo è l'intorno da 2 cercato.
3. Verificare che lim per x-->-infinito di x³=-infinito. Per la definizione di limite, in corrispondenza ad un arbitrario M>0 è possibile determinare un numero N>0 tale che per ogni valore di x per cui valga la relazione |x|>N risulta x³>M. Poichè questa funzione tende a -infinito, dovrebbe risultare x³<-M. Risolvendo per x ottengo x<-radice cubica di M, per cui il numero N cercato sarebbe proprio questo -radice cubica di M.
4. Verificare che lim per x-->0 di (x-1)/x=infinito. Significa che in corrispondenza ad un arbitrario M>0 è possibile determinare un intorno H di 0 tale che per ogni x (escluso al più zero) risulti |(x-1)/x|>M.
Per risolvere l'equazione porto la M a sinistra ottenendo (x-1)/x-M<0. A questo punto mi sono bloccata. La stessa cosa per l'esercizio seguente, in cui si chiedeva di verificare se lim per x-->+infinito di log(x²-1)=+infinito. In questo caso dovrei risolvere l'equazione log(x²-1)>M ma non riesco a passare dal log all'esponenziale.

1) Ricorda che, essendo $x\to -2$ nel limite, noi dobbiamo arrivare ad una disuguaglianza della forma $|x+2|\leq \delta(\varepsilon)$ , e dobbiamo dimostrare l'esistenza di tale $\delta$ dipendente da $\varepsilon$ .

Le disuguaglianze che hai scritto, purtroppo, non portano ad un tale risultato!

Se imponiamo

$|3x^2-12|<\varepsilon$

$-\varepsilon<3x^2-12<\varepsilon$

$12-\varepsilon<3x^2<12+\varepsilon$

$4-\frac{\varepsilon}{3}<x^2<4+\frac{\varepsilon}{3}$

Consideriamo le due disuguaglianze separatamente

$x^2>4-\frac{\varepsilon}{3}$

che diventa

$x<-\sqrt{4-\varepsilon}\vee x>+\sqrt{4-\varepsilon}$

dato che

dovrà trovarsi in un intorno di

, la seconda disuguaglianza la scartiamo (presuppone di lavorare con

positive). Teniamo solamente

$x<-\sqrt{4-\varepsilon}$

Poi abbiamo

$x^2<4+\frac{\varepsilon}{3}$

da cui

$-\sqrt{4+\frac{\varepsilon}{3}}<x<+\sqrt{4+\frac{\varepsilon}{3}}$

dato che dobbiamo lavorare con

negative, ci limitiamo a

$-\sqrt{4+\frac{\varepsilon}{3}}<x<0$

Ora consideriamo il sistema

$x<-\sqrt{4-\varepsilon}$

$-\sqrt{4+\frac{\varepsilon}{3}}<x<0$

Non è complicatissimo vedere che il precedente sistema si può condensare in un'unica doppia disuguaglianza

$-\sqrt{4+\frac{\varepsilon}{3}}<x<-\sqrt{4-\varepsilon}$

da qui si può smanettare ulteriormente (ma è abbastanza inutile) per portare la disuguaglianza nella forma

$-\delta_1(\varepsilon)<x+2<\delta_2(\varepsilon)$

e prendendo il maggiore in modulo tra $\delta_1,\delta_2$ , sia esso

$\delta_m=max\{\delta_1,\delta_2\}$

potremo scrivere

$-\delta_m(\varepsilon)<x+2<\delta_m(\varepsilon)$

cioè

$|x+2|<\delta_m$

Il primo limite lo rivedremo poi...Per quanto riguarda il secondo limite ci sei, si può però raffinare il conto. Una volta arrivati a

$log_3{(9-\varepsilon)}<x<\log_3{(9+\varepsilon)}$

effettuiamo un piccolo raccoglimento all'interno dei logaritmi

$\log_3{\left[9\left(1-\frac{\varepsilon}{9}\right)\right]}<x<\log_3{\left[9\left(1+\frac{\varepsilon}{9}\right)\right]}$

proprietà dei logaritmi: il logaritmo del prodotto è pari alla somma dei logaritmi

$\log_{3}{(9)}+\log_3{\left(1-\frac{\varepsilon}{9}\right)}<x<\log_{3}{(9)}+\log_3{\left(1+\frac{\varepsilon}{9}\right)}$

ossia

$2+\log_3{\left(1-\frac{\varepsilon}{9}\right)}<x<2+\log_3{\left(1+\frac{\varepsilon}{9}\right)}$

e quindi

$\log_3{\left(1-\frac{\varepsilon}{9}\right)}<x-2<\log_3{\left(1+\frac{\varepsilon}{9}\right)}$

Veniamo al quarto limite:

$\lim_{x\to 0}{\frac{x-1}{x}}=\pm\infty$

In questo caso dobbiamo verificare due diversi limiti, separatamente

$\lim_{x\to 0^{+}}{\frac{x-1}{x}}=-\infty$

e

$\lim_{x\to 0^{-}}{\frac{x-1}{x}}=+\infty$

Verifico il primo: il secondo si verifica in maniera del tutto analoga