Protesta Globale di mark katana: Equazioni di primo grado ad una incognita

domenica 8 aprile 2012

Equazioni di primo grado ad una incognita - Prima parte

Il primo tipo di equazioni, poiché è il più semplice che si può incontrare in Matematica è dato dalle equazioni di primo grado ad una incognita. Un'equazione di questo tipo è data da un'uguaglianza tra due membri: abbiamo due espressioni contenenti la x di cui una a sinistra ed una a destra dell'uguale.

Scopo del gioco: trovare, se esistono, eventuali soluzioni.

Ci troviamo inizialmente di fronte ad una uguaglianza che possiamo indicare come

una espressione in termini della x = un'altra espressione in termini della x

Le equazioni di primo grado si caratterizzano per il fatto che l'incognita x compare solo linearmente, ossia troviamo solo moltiplicazioni e somme nelle due espressioni a sinistra e a destra dell'uguale. Non troveremo, ad esempio, frazioni aventi la x a denominatore. L'incognita x, inoltre, compare solamente con grado di potenza 1.

Qualcuno potrebbe darci un'equazione del tipo: $(4x+3)-\frac{2}{7}x=\frac{1}{7}(3-x)$ . Questa è una equazione di primo grado ad una incognita!
Se invece qualche giocherellone ci dicesse: "Che tipo di equazione è $\frac{2}{3}(x+1)+\frac{1}{x}=4$ ?" Ebbene, questa non è una equazione di primo grado ad una incognita. Ci sono dei termini in cui si divide per x!

Come si risolve una eq. di I grado ad una incognita?

Intanto vale la solita regola delle equazioni: ciò che fai a destra lo devi fare anche a sinistra dell'uguale. Da un passaggio al successivo puoi modificare i termini ma non devi alterare l'uguaglianza. (se sommi +4 a sinistra e a destra, è ok; se sommi +4 a sinistra e +3 a destra, non è più ok...)
Devi cercare di portare tutte le x a sinistra dell'uguale e tutti i numeri a destra dell'uguale: per raggiungere questo scopo dovrai limitarti a sommare e/o sottrarre gli stessi opportuni numeri sia a sinistra che a destra dell'uguale, ed eventualmente a moltiplicare/dividere per gli stessi opportuni numeri sia a sinistra che a destra dell'uguale.

Consideriamo l'equazione che abbiamo citato poche righe sopra. Vediamo come risolverla.

$(4x+3)-\frac{2}{7}x=\frac{1}{7}(3-x)$

Prima di tutto tolgo le parentesi facendo i calcoli che compaiono a sinistra e a destra (niente di particolare!)

$4x+3-\frac{2}{7}x=\frac{3}{7}-\frac{1}{7}x$

Ora devo portare tutte le x a sinistra dell'uguale e tutte le x a destra dell'uguale. Come faccio? Abbiamo detto poco fà che possiamo fare qualsiasi operazione, a patto che sia la stessa a sinistra e a destra dell'uguale. Ragiona: se vuoi portare a sinistra il $-\frac{1}{7}x$ che vedi a destra, l'unico modo per farlo è sommare ad entrambi i membri $+\frac{1}{7}x$ . In questo modo trovi:

$+\frac{1}{7}x+4x+3-\frac{2}{7}x=\frac{3}{7}-\frac{1}{7}x+\frac{1}{7}x$

quindi:

$+\frac{1}{7}x+4x+3-\frac{2}{7}x=\frac{3}{7}+0$

Ora a sinistra compare un

che vogliamo portare a destra. Cosa facciamo? Sottraiamo

da entrambi i membri!

$-3+\frac{1}{7}x+4x+3-\frac{2}{7}x=\frac{3}{7}-3$

quindi:

$+\frac{1}{7}x+4x-\frac{2}{7}x=\frac{3}{7}-3$ .

Non ci resta che sommare i termini della sola x a sinistra dell'uguale e sommare i numeri senza x a destra dell'uguale. Calcolando il denominatore comune, troviamo

$+\frac{1+4\cdot 7-2}{7}x=\frac{3-3\cdot 7}{7}$