lim x--> + infinito di e^x - 6/ 1 +e^x = 1

Dobbiamo dimostrare il limite

tramite la definizione, cioè dobbiamo mostrare che fissato un numero positivo epsilon, esiste un numero reale M tale che se


Consideriamo ora l'ultima disequazione:

Risolviamola rispetto a x, iniziando con il minimo comun denominatore:

Sommiamo i termini simili:

Ora osserva che per le proprietà del modulo:

Quindi la disequazione da risolvere è:


Portiamo tutto a primo membro:

minimo comun denominatore:

osserva che il denominatore è sempre positivo (esponenziale + quantità positiva), la disequazione dipenderà esclusivamente dal numeratore:

Portiamo al secondo membro 7 cambiandolo di segno.

Cambiamo di segno membro a membro, cambiando anche il verso della disequazione:

Dividiamo per epsilon

Portiamo 1 al secondo membro cambiandolo di segno:

Applichiamo il logaritmo membro a membro:


Possiamo quindi prendere M come:


Abbiamo quindi dimostrato l'esistesta di questo M e quindi il limite è valido :)