Teoria cinetica molecolare

Le leggi sui gas vengono confermate da una teoria generale nota come teoria cinetica molecolare che descrive tutti i fenomeni relativi ai gas assumendo a modello un gas ipotetico denominato gas ideale o gas perfetto. Un gas si definisce tale quando:

1. è formato da molecole in costante e disordinato movimento, le quali, anche se dotate di massa, hanno un proprio volume che è trascurabile rispetto a quello del recipiente in cui sono contenute
2. tra le sue molecole e tra queste e le pareti del recipiente non esistono forze né di attrazione né di repulsione
3. gli urti tra le molecole e fra esse e le pareti del recipiente sono perfettamente elastici, nel senso che dopo ogni collisione l’energia cinetica, definita dall’equazione:

E = ½ mv² ( dove m è la massa e v la velocità) rimane inalterata

4. l’energia cinetica delle molecole e quindi anche la loro velocità media è direttamente proporzionale alla temperatura del gas

Consideriamo un recipiente di forma cubica con spigolo l, mantenuto a temperatura costante, e supponiamo che contenga una sola molecola di gas ideale la cui massa sia m e la velocità media u.

Poiché la velocità è una grandezza vettoriale essa è scomponibile nei tre vettori v_x , v_y e v_z lungo i tre assi x, y e z. Applicando il teorema di Pitagora ai tre vettori si ha:
v² = v_x² +  v_y² + v_z² dove v² è detta velocità quadratica media. Quando la molecola urta contro la parete del recipiente la quantità di moto da essa posseduta lungo la direzione dell’asse x vale:
mv_x ( si ricordi che: massa x velocità = quantità di moto)
Essendo l’urto perfettamente elastico, rimane inalterata nella sua intensità, e quindi essa rimbalzando sulla parete conserva la stessa quantità di moto che vale – mv_x dato che è cambiato il verso di tale grandezza. Pertanto per ogni urto su una parete del recipiente la variazione della quantità di moto è data da:
mv_x – (-mv_x) = 2 mv_x
poiché fra un urto e quello immediatamente successivo sulla parete deve percorrere lo spazio 2l ( dove l è il lato del recipiente cubico) , il tempo t che passa fra le due collisioni della molecola sulla medesima parete è uguale a:
t = 2l/v_x
Se facciamo il rapporto fra la variazione della quantità di moto della molecola ad ogni urto sulla parete e il tempo necessario affinché ogni uso si verifichi e cioè:
variazione della quantità di moto/ tempo= 2 mv_x/ 2l/v_x = mv_x²/l
tale equazione rappresenta la variazione della quantità di moto della molecola nell’unità di tempo ed ha la dimensione di una forza; infatti l’equazione dimensionale di mv_x²/l è riconducibile a: [Kg m²/s²/ m = Kg m²/s² 1/m = Kg m/s² = Kg m s^-2] che è appunto la definizione di Newton.
Questa è allora la forza f che ad ogni urto la molecola esercita sulla parete del recipiente. Se nel recipiente sono contenute N_i molecole uguali, la forza totale che esse esercitano contemporaneamente sulla parete lungo l’asse delle x è pari a:
F_x = N_i mv_x²/l
Dato che la pressione è una grandezza fisica che viene definita come la forza che agisce sull’unità di superficie, la pressione P_x esercitata dalle N_i molecole contro la parete la cui superficie è data da l² è data da:
P_x = F_x/l²
E quindi: P_x = N_i m v_x²/l³
Ma l³ è uguale al volume V del recipiente e pertanto:
P_x = Ni m v_x²/V  (1)
Prendendo in esame le altre due componenti v_y e v_z con un procedimento del tutto analogo a quello seguito per la componente v_x si ha:
P_y = Ni m v_y²/V  (2)
e  P_z = Ni m v_z²/V  (3)
in cui P_y e P_z rappresentano, rispettivamente, la pressione esercitata dalle N_i molecole sulle pareti del recipiente sull’asse delle y e sull’asse delle z.
indicando con P la pressione totale esercitata dalle N_i molecole contenute nel recipiente, deve essere verificata la condizione:
P = P_x = P_y = P_z in quanto, per la legge di Pascal, la pressione esercitata da un fluido è la stessa in tutte le direzioni. Pertanto deve essere verificata anche la condizione:
v_x² = v_y² = v_z². Sulla base dell’equazione:
v² = v_x² + v_y² + v_z² devono essere verificate anche le condizioni:
v² = 3 v_x²; v² = 3 v_y²; v² = 3 v_z²
dalle quali risulta:
v_x² = v²/3;   v_y² = v²/3 ; v_z²= v²/3
sostituendo ognuna di queste ultime relazioni nella (1) , (2) e (3) otteniamo per tutte lo stesso risultato e cioè:
P = N_i m v²/ 3V
Dalla quale PV = 1/3 N_i m u²
Se moltiplichiamo e dividiamo per 2 il secondo membro dell’equazione otteniamo:
PV = 2/3 N_i m v²/2
Queste ultime due equazioni sono note con il nome di equazione di Clausius-Krönig, che rappresentano l’equazione fondamentale dedotta dalla teoria cinetica molecolare applicata allo stato gassoso.