Disequazioni piu' complesse

Quando abbiamo disequazioni piu' complesse con tre o piu' radicali si procede nel modo seguente:

1. Si spostano i radicali dalla parte della disequazione dove hanno il segno positivo (nella pagina seguente una giustificazione logica del procedimento)
   
2. Si risolve un sistema le cui disequazioni sono i radicandi posti ciascuno maggiore od uguale a zero e si trova l'intervallo in cui la disequazione e' possibile
   
3. Si procede come per le equazioni irrazionali con opportuni elevamenti a potenza per ridurre i radicali, sino ad ottenere un radicale ed un numero
   
4. Quello che abbiamo ottenuto e' una disequazione elementare del tipo gia' visto: va risolta
   
5. I risultati trovati vanno messi a sistema con l'intervallo in cui e' possibile la disequazione

 Vediamo il metodo, punto per punto, su un esercizio:

x + 1 - x + 2 < x + 3 Si spostano i radicali dalla parte della disequazione dove hanno il segno positivo sposto il secondo radicale dopo il disuguale cambiandolo di segno x + 1 < x + 2 + x + 3 Si risolve un sistema le cui disequazioni sono i radicandi posti ciascuno maggiore od uguale a zero e si trova l'intervallo in cui la disequazione e' possibile imposto il sistema x+1 0 x+2 0 x+3 0 ottengo x -1 x -2 x -3 Riporto su un grafico, evidenziando con una linea marcata i valori che risolvono le disequazioni, i valori dove e' accettabile l'uguale li indico con un cerchietto. Abbiamo come soluzione       x -1 Si procede come per le equazioni irrazionali con opportuni elevamenti a potenza per ridurre i radicali, sino ad ottenere un radicale ed un numero Sono tre radicali: elevo a quadrato da una parte e dall'altra ( )2 ( )2 x + 1 < x + 2 + x + 3 ottengo   x + 1 < x + 2 + 2 (x+2)(x+3)   + x + 3 Porto i termini fuori radice prima del disuguale e lascio la radice dopo   x + 1 - x - 2 - x - 3 < 2 (x+2)(x+3) sommo, moltiplico dentro radice ed ottengo   - x - 4 < 2 x2 + 5x + 6 Quello che abbiamo ottenuto e' una disequazione elementare del tipo gia' visto: va risolta e' una disequazione irrazionale elementare del secondo tipo che abbiamo visto: risolviamola; devo risolvere i sistemi: -x - 4 0               (-x - 4)2 <4(x2 + 5x + 6)                     -x - 4 < 0        4(x2 + 5x + 6) 0 risolviamo il primo -x - 4 0        (-x - 4)2 < 4(x2 + 5x + 6) sviluppiamo le equazioni e dopo alcuni calcoli otteniamo: x -4        3x2+12x+8 > 0 La seconda e' sempre verificata (delta minore di zero) Riporto su un grafico, evidenziando con una linea marcata i valori che risolvono le disequazioni, i valori dove e' accettabile l'uguale li indico con un cerchietto. Essendo un sistema prendo le soluzioni comuni Abbiamo come soluzione     x -4 risolviamo il secondo -x - 4 < 0 4(x2 + 5x + 6) 0 Divido la seconda per 4 -x - 4 < 0 x2 + 5x + 6 0 la prima -x -4 < 0 e' verificata per x > -4 la seconda x2 + 5x + 6 0 e' verificata per x -3 U x -2        calcoli Riporto su un grafico, evidenziando con una linea marcata i valori che risolvono le disequazioni, i valori dove e' accettabile l'uguale li indico con un cerchietto. Abbiamo come soluzione       -4 < x -3   U   x -2 Ora devo mettere assieme le soluzioni dei due sistemi ed ottengo x -3   U   x -2 I risultati trovati vanno messi a sistema con l'intervallo in cui e' possibile la disequazioneQuindi faccio un sistema fra le condizioni di realta' delle radici e le soluzioni trovate sopra x -1 x -3   U   x -2 Riporto su un grafico, evidenziando con una linea marcata i valori che risolvono le disequazioni, i valori dove e' accettabile l'uguale li indico con un cerchietto. Abbiamo come soluzione della disequazione iniziale x -1