Formule di Briggs

Le formule di Briggs ci permettono di esprimere il seno, il coseno e la tangente dell'angolo meta' mediante i lati del triangolo

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Per dimostrarle partiamo dalle formula di bisezione per il seno ed il coseno: essendo un angolo di un triangolo sempre minore dell'angolo piatto, l'angolo meta' sara' sempre minore di un angolo retto, cioe' sara' acuto, quindi nelle formule avremo davanti alla radice sempre il segno positivo

sen    = 2 1 - cos 2

cos    = 2 1 + cos 2

Dalle formule inverse del teorema di Carnot abbiamo visto che il coseno si puo' esprimere:

cos =

b2 + c2 - a2 2bc

Sostituiamo al coseno (sotto radice) la sua espressione: avremo

sen    = 2       b2 + c2 - a2 1 -        2bc 2		cos    = 2       b2 + c2 - a2 1 +        2bc 2
Calcoli prima formula		Calcoli seconda formula

ed otteniamo

sen    = 2 (a+b-c)(a-b+c) 4bc

cos    = 2 (a+b+c)(b+c-a) 4bc

Poniamo ora
a+b+c = 2p
in questo modo avremo le relazioni

• b+c-a = 2(p-a)     Calcolo
• a-b+c = 2(p-b)     Calcolo
• a+b-c = 2(p-c)     Calcolo

sen    = 2 4(p-b)(p-c) 4bc

cos    = 2 4p(p-a) 4bc

e semplificando per 4

sen    = 2 (p-b)(p-c) bc

cos    = 2 p(p-a) bc

e dividendo fra loro le due relazioni ottengo la relazione per la tangente Calcoli

tang	= 2
			(p-b)(p-c) p(p-a)

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Qui di seguito metto le varie formule di Briggs relative ai vari angoli del triangolo

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• per
  

  sen	= 2
  			(p-b)(p-c) bc

  
  

  cos	= 2
  			p(p-a) bc

  
  

  tang	= 2
  			(p-b)(p-c) p(p-a)

  
  

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• per
  

  sen	= 2
  			(p-a)(p-c) ac

  
  

  cos	= 2
  			p(p-b) bc

  
  

  tang	= 2
  			(p-a)(p-c) p(p-b)

  
  

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• per
  

  sen	= 2
  			(p-a)(p-b) bc

  
  

  cos	= 2
  			p(p-c) ab

  
  

  tang	= 2
  			(p-a)(p-b) p(p-c)