Questo e' uno di quei pochi teoremi che e' assolutamente necessario sapere e saper applicare
Equivale al secondo criterio di congruenza: conoscendo due lati e l'angolo compreso posso trovare il terzo lato
esempio
Teorema:
| In ogni triangolo il quadrato di un lato e' uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati meno il doppio prodotto degli stessi lati per il coseno dell' angolo fra essi compreso |
a2 = b2 + c2 - 2bc cos
b2 = a2 + c2 - 2ac cos
c2 = a2 + b2 - 2ab cos
Dimostriamo la prima relazione
prendiamo le relazioni delle proiezioni
a = b cos
+ c cos b = a cos
+ c cos c = a cos
+ b cos moltiplichiamo la prima relazione per a
moltiplichiamo la seconda relazione per -b
moltiplichiamo la terza relazione per -c
a2 = ab cos
+ ac cos -b2 = -ab cos
- bc cos -c2 = -ac cos
- bc cos Sommiamo tra loro tutti i termini prima dell'uguale e tutti i termini dopo l'uguale: essendo delle uguaglianze il risultato e' ancora un'uguaglianza
a2 - b2 -c2 = ab cos
+ ac cos -ab cos - bc cos -ac cos - bc cos sommo i termini simili
a2 - b2 -c2 = -2bc cos
e quindi
a2 = b2 + c2 - 2bc cos
come volevamo
Anche le altre relazioni si dimostrano nello stesso modo: prova a farle da solo per esercizio e poi confronta i risultati:
per la seconda moltiplica la prima per -a la seconda per b e la terza per -c
per la terza moltiplica la prima per -a, la seconda per -b e la terza per c
dimostrazione della seconda
dimostrazione della terza
Equivale anche al terzo criterio di congruenza dei triangoli: conoscendo i tre lati posso trovare gli angoli con le formule inverse
| cos = | - a2 + b2 + c2 ----------------- 2bc |
| cos = | a2 - b2 + c2 ----------------- 2ac |
| cos = | a2 + b2 - c2 ----------------- 2ab |
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