Equazione di Bernoulli

E' un'equazione che si puo ridurre ad un equazione lineare

---

La nostra equazione e' :
y' + p(x) y = q(x) yⁿ
Con p(x) e q(x) funzioni continue

Per risolverla dividiamo tutto per yⁿ

y' ------ yn

+ p(x)

y ------ yn

= q(x)

semplifico

y' ------ yn

+ p(x)

1 ------ yn-1

= q(x)

ora pongo

1 ------ yn-1 = z

equivale a dire

z = y1-n

da cui ottengo, derivando (ricorda che y e' una funzione e quindi devi terminare con y'):

z' = (1-n)

y' ----- yn

quindi sostituisco nel primo passaggio dell'equazione

1 a  ------   yn-1 = z

ed a

y' ----- yn   =   z' ----- 1-n

ed ottengo

z' ------ 1-n

+ z p(x)

= q(x)

o meglio, facendo il minimo comune multiplo
z' + (1-n) p(x) z = (1-n)q(x)
che e' una funzione lineare non omogenea del primo ordine

---

Risolviamo l'equazione
y' + xy = x y²
Per risolverla divido tutto per y²

y' ------ y2

+ x

y ------ y2

= x

semplifico

y' ------ y2

+ x

1 ------ y

= x

pongo

1 ------ y

= z

da cui

z' = -

y' ----- y2

e quindi sostituendo
-z' + xz = x
o meglio
z' - xz = - x
applichiamo la formula risolutiva
z = c e^{- - x dx}x · e ^{x dx} dx + k =
L'integrale di x e' x² /2

z = c e^(x2)/2x · e ^{(x2) /2} dx + k =
Risolviamo l'integrale per sostituzione ed otteniamo
= c e^{(x2) /2} e^{(x2) /2} + k =
moltiplichiamo
= c e^{(x2) /2 + (x2) /2} + ck e^{(x2) /2} =
ed otteniamo l'integrale generale
= c e^x2 + ck e^{(x2) /2}
con c e k costanti