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sabato 31 marzo 2012

Equazione di Bernoulli

E' un'equazione che si puo ridurre ad un equazione lineare

La nostra equazione e' :
y' + p(x) y = q(x) yn
Con p(x) e q(x) funzioni continue

Per risolverla dividiamo tutto per yn
y'
------
yn
+ p(x) y
------
yn
= q(x)
semplifico
y'
------
yn
+ p(x) 1
------
yn-1
= q(x)
ora pongo
1
------
yn-1
= z
equivale a dire
z = y1-n
da cui ottengo, derivando (ricorda che y e' una funzione e quindi devi terminare con y'):
z' = (1-n) y'
-----
yn
quindi sostituisco nel primo passaggio dell'equazione
1
a  ------  
yn-1
= z
    ed a   
y'
-----
yn
  =   z'
-----
1-n
ed ottengo
z'
------
1-n
+ z p(x) = q(x)
o meglio, facendo il minimo comune multiplo
z' + (1-n) p(x) z = (1-n)q(x)
che e' una funzione lineare non omogenea del primo ordine
Risolviamo l'equazione
y' + xy = x y2
Per risolverla divido tutto per y2
y'
------
y2
+ x y
------
y2
= x
semplifico
y'
------
y2
+ x 1
------
y
= x
pongo
1
------
y
= z
da cui
z' = - y'
-----
y2
e quindi sostituendo
-z' + xz = x
o meglio
z' - xz = - x
applichiamo la formula risolutiva
z = c e- - x dxx · e x dx dx + k =
L'integrale di x e' x2 /2

z = c e(x2)/2x · e (x2) /2 dx + k =
Risolviamo l'integrale per sostituzione ed otteniamo
= c e(x2) /2 e(x2) /2 + k =
moltiplichiamo
= c e(x2) /2 + (x2) /2 + ck e(x2) /2 =
ed otteniamo l'integrale generale
= c ex2 + ck e(x2) /2
con c e k costanti

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