Limiti di funzioni - Esercizi di riepilogo Svolti

Calcolare i seguenti limiti, che spesso si presentano in forme indeterminate:

Esercizio 1

limx→(π3)+e12cosx−1

Questo limite NON si presenta in forma indeterminata, perchè

limx→(π3)+cosx=(12)−

quindi l'esponente

limx→(π3)+12cosx−1=11−−1=10−=−∞

Di conseguenza

limx→(π3)+e12cosx−1=limx→(π3)+e−∞=0

Esercizio 2

limx→∞(x+1x−1)x

Questo limite si presenta, all'interno della parentesi, nella forma indeterminata del tipo

[∞∞]

Risolvendolo come una fratta, otterremo comunque una forma indeterminata del tipo

[1∞]

quindi procediamo come segue:

limx→∞(x+1x−1)x=limx→∞(x−1+2x−1)x

limx→∞(x+1x−1)x=limx→∞(1+2x−1)x

Poniamo

t=x−12→x=2t+1

Notiamo che

limx→∞t=limx→∞x−12=∞

quindi

limx→∞(x+1x−1)x=limt→∞(1+1t)2t+1=limt→∞(1+1t)2t⋅(1+1t)

limx→∞(x+1x−1)x=limt→∞[(1+1t)t]2⋅(1+1t)

dove nel primo fattore abbiamo un limite notevole:

limt→∞(1+1t)t=e

e il secondo tende a 1. Otteniamo:

limx→∞(x+1x−1)x=e2⋅1=e2

Esercizio 3

limx→+∞(x+1−−−−√−x+2−−−−√)

Questo limite si presenta nella forma indeterminata del tipo

[∞−∞]

Moltiplichiamo e dividiamo per la somma delle radici:

limx→+∞(x+1−−−−√−x+2−−−−√)=limx→+∞(x+1−−−−√−x+2−−−−√)⋅(x+1−−−−√+x+2−−−−√)(x+1−−−−√+x+2−−−−√)

limx→+∞(x+1−−−−√−x+2−−−−√)=limx→+∞x+1−x−2x+1−−−−√+x+2−−−−√

limx→+∞(x+1−−−−√−x+2−−−−√)=limx→+∞−1x+1−−−−√+x+2−−−−√=0−

Esercizio 4

limx→+∞ln(x+1)ln(x+3)

Questo limite si presenta nella forma indeterminata del tipo

[∞∞]

Raccogliamo x all'argomento dei logaritmi:

limx→+∞ln(x+1)ln(x+3)=limx→+∞ln[x(1+1x)]ln[x(1+3x)]

Applichiamo il teorema del logaritmo di un prodotto:

limx→+∞ln(x+1)ln(x+3)=limx→+∞lnx+ln(1+1x)lnx+ln(1+3x)

Dato che

limx→+∞ln(1+1x)=limx→+∞ln(1+3x)=0

otteniamo

limx→+∞ln(x+1)ln(x+3)=limx→+∞lnxlnx=1