Limiti di funzioni - Infiniti Esercizi Svolti

eterminare l'ordine e la parte principale dei seguenti infiniti:

Esercizio 1

f(x)=x3−x2+1

per

x→∞

Soluzione

In questo caso l'infinito campione è

φ(x)=x

Occorre determinare

α>0

in modo che

limx→∞x3−x2+1xα

sia finito e diverso da zero.

Osserviamo che, per

α=3

otteniamo

limx→∞x3−x2+1xα=limx→∞x3−x2+1x3=1

che è finito e diverso da zero. Quindi l'ordine dell'infinito dato è

α=3

mentre il limite vale

l=1

Calcoliamo la parte principale:

l⋅[φ(x)]α=1⋅x3=x3

Quindi la parte principale dell'infinito dato è

x3

Esercizio 2

f(x)=3x2−4x

per

x→∞

Soluzione

In questo caso l'infinito campione è

φ(x)=x

Occorre determinare

α>0

in modo che

limx→∞3x2−4xxα

sia finito e diverso da zero.

Procediamo come segue:

limx→∞3x2−4xxα=limx→∞3x2−4x⋅1xα=limx→∞3x2−4xα+1

Affinchè il limite sia finito

α+1=2→α=1

e otteniamo

limx→∞3x2−4xα+1=limx→∞3x2−4x2=3

che è finito e diverso da zero. Quindi l'ordine dell'infinito dato è

α=1

mentre il limite vale

l=3

Calcoliamo la parte principale:

l⋅[φ(x)]α=3⋅x1=3x

Quindi la parte principale dell'infinito dato è

3x

Esercizio 3

f(x)=5x(x2−3x+2)2

per

x→1

Soluzione

In questo caso l'infinito campione è

φ(x)=1x−1

Occorre determinare

α>0

in modo che

limx→15x(x2−3x+2)2(1x−1)α

sia finito e diverso da zero.

Procediamo come segue:

limx→15x(x2−3x+2)2(1x−1)α=limx→15x(x−1)α(x2−3x+2)2=

=limx→15x(x−1)α(x−2)2(x−1)2

Osserviamo che, per

α=2

otteniamo

limx→15x(x−1)2(x−2)2(x−1)2=limx→15x(x−2)2=5

che è finito e diverso da zero. Quindi l'ordine dell'infinito dato è

α=2

mentre il limite vale

l=5

Calcoliamo la parte principale:

l⋅[φ(x)]α=5⋅(1x−1)2=5(x−1)2

Quindi la parte principale dell'infinito dato è

5(x−1)2

Esercizio 4

f(x)=2+3xx√3

per

x→0+

Soluzione

In questo caso l'infinito campione è

φ(x)=1x

Occorre determinare

α>0

in modo che

limx→0+2+3xx√3(1x)α

sia finito e diverso da zero.

Procediamo come segue:

limx→0+2+3xx√3(1x)α=limx→0+2+3xx√3⋅xα

Osserviamo che, per

α=13

otteniamo

limx→0+2+3xx√3⋅x13=limx→0+2+3xx√3⋅x√3=limx→0+(2+3x)=2

che è finito e diverso da zero. Quindi l'ordine dell'infinito dato è

α=13

mentre il limite vale

l=2

Calcoliamo la parte principale:

l⋅[φ(x)]α=2⋅(1x)13=2x√3

Quindi la parte principale dell'infinito dato è

2x√3