Formula di Bayes

(teorema della probabilita' delle cause)

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La formula di Bayes e' detta anche teorema di Bayes in forma elementare

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Siano E₁ ed E₂ 2 eventi qualsiasi abbiamo visto (proprieta' moltiplicativa) che vale
P(E₂) · P(E₁|E₂) = P(E₁) · P(E₂|E₁)
che posso anche scrivere come

P(E1|E2) =

P(E2|E1) · P(E1) ------------------------------- P(E2)

Questa e' la cosiddetta formula di Bayes (o anche teorema di Bayes in forma elementare)
Questa formula si puo' estendere ad un evento E riferito a piu' eventi tra loro indipendenti (teorema di Bayes)

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Dato l'evento E e gli eventi
E₁, E₂, E₃ ..... E_n
che siano tra loro indipendenti ( E_j E_k = Ø per j,k=1,2,3,...n con j k )
allora vale la relazione

	P(E|Ej)
P(Ej|E ) = P(Ej) ·
	P(Ek) · P(E|Ek)

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Esercizio:
Una fabbrica acquista dei pezzi lavorati presso 3 aziende A, B e C nelle percentuali del 20%, 30% e 50%rispettivamente
; sapendo che la percentuale di pezzi difettosi e'
azienda A = 3% di pezzi difettosi
azienda B = 4% di pezzi difettosi
azienda C = 2% di pezzi difettosi
Calcolare la probabilita' che, trovando un pezzo difettoso, esso provenga dall'azienda A
Evento E il pezzo e' difettoso
Evento E₁ il pezzo proviene dall'azienda A
Evento E₂ il pezzo proviene dall'azienda B
Evento E₃ il pezzo proviene dall'azienda C
applichiamo la formula di Bayes

	P(E|E1)
P(E1|E ) = P(E1) ·
	P(E1) ·P(E|E1) + P(E2) ·P(E|E2) + P(E3) ·P(E|E3)

P(E₁) = 20/100 = 1/5 probabilita' che il pezzo provenga dall'azienda A
P(E₂) = 30/100 = 3/10 probabilita' che il pezzo provenga dall'azienda B
P(E₃) = 50/100 = 1/2 probabilita' che il pezzo provenga dall'azienda C
P(E|E₁) = 3/100 probabilita' che il pezzo proveniente dall'azienda A sia difettoso
P(E|E₂) = 4/100 = 1/25 probabilita' che il pezzo proveniente dall'azienda B sia difettoso
P(E|E₃) = 2/100 = 1/50 probabilita' che il pezzo proveniente dall'azienda C sia difettoso
P(E₁|E) = probabilita' che il pezzo difettoso provenga dall'azienda A

	3/100
P(E1|E ) = 1/5 ·	=
	1/5 · 3/100 + 3/10 · 1/25 + 1/2 · 1/50

3/500	3/500
= =	=
3/500 + 3/250 + 1/100	14/500

= 3/500 · 500/14 = 3/14 = 0,214... ~ 21%
La probabilita' che il pezzo difettoso provenga dall'azienda Ae' del 21%
Per completare
1) calcolare la probabilita' che il pezzo difettoso provenga dall'azienda B      
2) calcolare la probabilita' che il pezzo difettoso provenga dall'azienda C